Função hiperbólica

De Professor Global

s. de um grupo de funções de um ângulo originalmente definido em termos das funções trigonométricas ou em termos de funções exponenciais. As funções hiperbólicas primárias são senh (seno hiperbólico) definido como

\sinh{z} = {i}\sin ({i}{z}) = \frac {{e}^{z} - {e}^{-z}}{2}

e cosh (cosseno hiperbólico), definido como
\cosh{z} = {i}\cos ({i}{z}) = \frac {{e}^{z} + {e}^{-z}}{2}

para z complexo; tanh (tangente hiperbólica) é definida como a razão do seno por cosseno. Os recíprocos destas três funções são respectivamente csch (cossecante hiperbólica), sech (secante hiperbólica), e coth (cotangente hiperbólica). Suas inversas são arcsenh, arccosh, arctanh, etc. As funções hiperbólicas satisfazem a identidade
cosh2\alpha \,\! − sinh2\alpha \,\!= 1

então, o ponto ( cosh\alpha \,\!, sinh\alpha \,\!) fica sobre a hipérbole retangular

x2y2 = 1

como mostrado abaixo; isso é análogo à identidade trigonométrica sin2θ + cos2 = 1 onde o ponto (coshθ, sinθ) fica sobre o círculo unitário. No caso hiperbólico, o parâmetro \alpha \,\!, é duas vezes a área fechada pelo eixo-x, o arco da hipérbole unitária entre o vértice e (cosh\alpha \,\!, sinh\alpha \,\!) e a linha que junta este ponto a origem, como mostrado na figura, onde

cosh − 1x = sinh − 1y = \alpha \,\!

Em geral, as funções hiperbólicas satisfazem todas as identididade trigonométricas exceto para mudanças no sinal de termos de segundo grau em senh.
Image:Hiperbolica fun.PNG